前言

我在国内本科学习机电一体化专业，但是由于没有深入学习过电机拖动，只在一本蓝皮的秦曾煌的《电工学(一)》里对电机浅尝辄止。上到最后对电机认识还很浅薄，常常分不清楚同步电机和异步电机到底有什么区别，对于电机的认识十分简单朴素，特别是数学模型，更是没什么深刻印象。之后和同学组队，参加过一次大疆举办Robomaster 大学生机器人比赛，第一次接触到直流无刷电机(BLDC Motor)，第一次被电机控制的交互感带来的魅力所折服。之后就对电机有了更浓厚的兴趣，如今在德国读研，又重新接触到了电机方向的课程，感觉电机本身十分有意思，综合了基本物理，机械设计制造，电力电子，自动控制等多个方向的专业知识，十分综合。而在学了德国的课程后，发现当初我在国内学习的与德国不太一样，总的来说，德国这边更注重模型的构建，会通过教学让学生对电机的数学模型实体构造有更加详细直观的理解。经过多轮学习，我对电机模型有了一些心得，现在我想通过一些简单的概括和描述向更多对电机感兴趣的人分享一下有关电机的知识。希望抛砖引玉，和更多的专业人士交流分享电机控制相关知识。

注：由于我学习的是德语内容，有很多不知道如何正确翻译到中文，只好自己理解性尝试翻译，希望大家能够通过我的描述理解内容。因此，我会在对应的关键词旁边加上德语原文，如果是英语，我会标记“[英]”，以此区分，便于大家理解和查询。

1.电机工作的物理原理

1.1麦克斯韦方程组

电机(elektrische Maschine)是一个对电磁能和机械能进行不断转换的换能器，当输入电能，电机就可以源源不断地输出转矩和机械能，即电动机；反之，如果外力不断推动电机轴，输入机械能，电机就能反向从导线端源源不断输出电压和电能，也即发电机。历史上曾经把静态不动的变压器也算作电机，但是后来逐渐演化成专指电动机(Motor)和发电机(Generator)。电机的一个优点是它们的损耗相对较小，因此它们实现了高效率。大型电机可以实现高达99％的效率。

谈及电磁系统，就绕不开麦克斯韦方程组，在宏观世界乃至微观世界都可以很有效地使用用麦克斯韦方程组来描述系统性质。麦克斯韦方程组经过对前人对电磁现象研究地总结，有四条非常基本的方程，有微分形式和积分形式。现在来考察积分形式地麦克斯韦方程组：

上面两式描述了场密度的通量，分别在一个封闭空间曲面内流出电位移  ${\overrightarrow{D}}_n$  的总和和磁感应  ${\overrightarrow{B}}_n$  的总和,根据高中所学知识，电场可由点电荷激发产生，磁场不能由磁单极子激发，而是延着路径封闭，所以电场是有源的，磁场是无源的。所以总的电位移通量为总电荷量q，总磁通量为0。

上述两式描述了场强度的旋量，分别在一个封闭空间曲线上沿着曲线路径走一圈的总电场强度和总磁场强度的积分，对应了激发出来的磁通变化率和电位移变化率（电流强度）。通过高斯公式和斯托克斯公式还可以将上述四个式子改写为微分形式：

$\mathrm{\nabla }$ 为Nabla算子，与向量点乘计算散度，叉乘计算旋度，  $\rho$  为电荷体密度，  ${\overrightarrow{J}}_n$  为电流密度。上述几条式子基本可以描述所有一切电机系统中会发生的电磁行为。

1.2材料的极化和磁化

在一个外加电场中，物质分子会因为极性受场强影响而发生取向变化，原有排布不均匀的各种大小分子团形成的电畴会因为外加场，电荷分布取向趋同而发生极化。

${\overrightarrow{D}}_{}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\overrightarrow{E}$为相对介电常数，由材料本身性质决定。（1.9）描述了外加电场和对应极化强度 

${\overrightarrow{P}}_{}$  共同构成的电位移密度。

在一个外加磁场里，同理可以得到对应的磁畴和磁化强度  ${\overrightarrow{M}}_{}$  与电场不同的是引入了一个磁极化强度  ${\overrightarrow{J}}_m$  ，它描述了材料和真空环境下磁感应强度的差值。

${\overrightarrow{B}}_{}={\mu }_0(\overrightarrow{H}+{\overrightarrow{M}}_{})={\mu }_0\overrightarrow{H}+{\overrightarrow{J}}_m={\mu }_0{\mu }_r\overrightarrow{H}$

${\mu }_0=4\pi \times {10}^{-7}N·A^{-2}$  为真空磁导率，  ${\mu }_r$  为相对磁导率，描述了材料允许磁场通过的能力。如果 ${\mu }_r\le 1$ ，则为抗磁性，材料阻碍磁场通过；如果  ${\mu }_r\ge 1$  ，则表现为顺磁性，材料顺应磁场通过；  ${\mu }_r\ge {10}^5$  为铁磁性，材料比如铁钴镍会在磁化以后增强磁场且再移走磁场后保留一定强度磁场，即所谓剩磁。在电机运行的过程中会不断出现磁化和退磁，所以也应该注意对不同材料磁滞回线的考察。

磁滞回线描述了外加磁场强  $\overrightarrow{H}$  作用下一种磁性材料随着场强增大而不断增强其磁感应强度，该磁感应强度在达到磁饱和以后很难跟随场强继续增强，当外部磁场强慢慢减小至零，可以看到退磁曲线过零点时，依然保有剩磁  ${\overrightarrow{B}}_r$ ，这个剩磁就明示了一般永磁体的制造原理，即定向磁化再逐步退磁。而当施加反向磁场致使磁感应强度归零乃至反向增大，这个过零点称为矫顽强度  ${\overrightarrow{H}}_c$

1.3电磁力

电机最大的价值就是实现电能到机械能的转化，对外做功，执行目标运动。带电粒子在磁场中运动受到垂直于运动方向的洛伦兹力，其宏观表现就是安培力  ${\overrightarrow{F}}_m=I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$，可以使用左手定则判断方向，  $\overrightarrow{l}$  为电流方向下导体在磁场中有效长度。

静电场里也有对应的电场力  ${\overrightarrow{F}}_e=q\overrightarrow{E}$  。而磁场和电场本身都是场，对其中电荷或者电流元施加作用力时，依赖于体积和场密度，因而可以用场的观点来考察对应的场力：

(1.11)  ${\overrightarrow{F}}_e={\iiint }_V^{}\rho \overrightarrow{E}dV$

(1.12)  ${\overrightarrow{F}}_m={\iiint }_V^{}\overrightarrow{J}\times \overrightarrow{B}dV$

上述两式依然保持了对称性，电荷体密度$\rho$ 在一定体积内由于电场场强产生了电能力密度  ${\overrightarrow{f}}_e=\rho \overrightarrow{E}$  ，电流密度  $\overrightarrow{J}$  也在一定体积内由于磁场场强产生了磁能力密度  ${\overrightarrow{f}}_m=\overrightarrow{J}\times \overrightarrow{B}$  （以上式(1.12)必须在材料各向同性和恒定电流情况下方可使用）这种表述方式启发我们可以直接考察电磁场的能量和能量密度，这样可以确定某一点的电磁势能通过求梯度来获得对应的电磁力密度从而求得对应考察物体受到的总的电磁力了。

1.4线圈模型

线圈是一个构成电机模型的基本元素，它桥接了电机的电路模型和实物的物理模型。一段直线通电导体会在周围产生环形磁场(根据式1.4)，当导体首尾闭合后，环形磁场在导体环中心形成竖直通过导体环的磁力线，比如螺线管。

只考虑通电导体上的电流，(1.4)简化为：

(1.13)  ${\oint }_l^{}\overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{s}={\int }_A{\overrightarrow{J}}_n\cdot d\overrightarrow{A}=\mathrm{\Theta }$

$\mathrm{\Theta }$ 磁动势(magnetische Durchfluchtung)，是激发磁场强度的源头，本质为一段封闭导体上通过的总电流强度，单位为[A]。因为实际操作时会把通电导线缠绕成线圈，所以导线电流是离散化的，(1.13)改写为：

(1.14)  $\sum _i^n{H}_i{l}_i=\mathrm{\Theta }=NI$

$N$ 为线圈总缠绕数，即匝数。可见如果匝数越多，总电流就越大，磁动势就越大，能激发的磁场就越强。

电生磁，磁也能生电，一个处在时变磁场里的单匝线圈会在导线两端感应出电压，此现象可由(1.3)描述，当我们把线圈通过面积里的磁感应强度求和即可得到总的磁通量

(1.15)  $\Phi ={\int }_A\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}$

可知磁感应强度也可以理解为磁通密度，代入(1.3)可得

(1.16)  $u_i={\oint }_l^{}\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{s}=-{\int }_A\frac{\mathrm{\partial }{\overrightarrow{B}}_n}{\mathrm{\partial }t}\cdot d\overrightarrow{A}=-\frac{\mathrm{\partial }\Phi }{\mathrm{\partial }t}$

$u_i$  为感应电动势，考虑磁通变化两种形式，一是变化线圈面积而是变化磁通密度，则有

(1.17)  $u_i=-\frac{\mathrm{\partial }\Phi }{\mathrm{\partial }t}=-\frac{d\overrightarrow{B}}{dt}\cdot \overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}\cdot \frac{d\overrightarrow{A}}{dt}$

前一部分是形式变换的感应电动势(transformatisch induzierte Spannung)，后一部分是平移变换的感应电动势(translatorisch induzierte Spannung)。前者磁通密度时变，后者有效线圈面积时变。这个感应原理在高中物理时会被提及，也就是所谓的楞次定理。

当一个线圈有好多匝数的时候，总的有效磁通正好是扩大了线圈匝整数倍，于是引入磁链的概念。定义磁链  $\mathrm{\Psi }=N\Phi$  。注意，磁链和磁通一样都是标量。因为电流本身变化也能引起磁通变化，其趋势为阻碍磁通变化，可以做出定义

(1.18)  $L=\frac{\mathrm{\Psi }}{i}$

(1.19)  $u_i=-\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Psi }}{\mathrm{\partial }t}=-L\frac{di}{dt}$

$i$ 为变化的电流强度， $L$  为自感系数，单位亨利[H]，其大小和线圈体积形状，匝数，磁导率都有关系。电机中线圈都会为了提高磁导率而让线圈中间加入铁磁性材料，比如铁芯，这样线圈就会绕在铁芯上，故而被称为绕组(Wicklung)。

对于一段线性各相同性的材料来说，它的自感系数可由以下公式近似描述

(1.20)  $L=\mu \frac{N^2}{l}A$

自感就是一个线圈自身电流变化感应出阻遏电压的现象，其趋势为阻碍电流变化，当两个线圈靠近时，他们彼此除了自己的自感，还会因为邻近的线圈上电流变化而产生互感

(1.21)  $M=\mu \frac{N_1{N}_2}{l}A$

线性各相同性的材料的互感系数  $M$  用上式近似表达，可见互感同时受到两个线圈的匝数影响。

忽略电阻，考察两段临近线圈的自感和互感情况，由图1.5可列出电压方程

(1.22)  $u_1=N_1\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{11}(i_1)}{dt}+N_2\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{12}(i_2)}{dt}=\frac{d({\mathrm{\Psi }}_{11}+{\mathrm{\Psi }}_{12})}{dt}=\frac{d(L_{11}{i}_1+M_{12}{i}_2)}{dt}$

(1.23)  $u_2=N_1\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{21}(i_1)}{dt}+N_2\frac{d{\mathrm{\Phi }}_{22}(i_2)}{dt}=\frac{d({\mathrm{\Psi }}_{21}+{\mathrm{\Psi }}_{22})}{dt}=\frac{d(M_{21}{i}_1+L_{22}{i}_2)}{dt}$

由于耦合部分拥有同样的材料参数和形状所以产生的互感系数是相等的  $M_{12}=M_{21}$  ，于是在俩线圈上分别产生的耦合磁链大小正比于对应线圈上的电流强度

(1.24)  $\frac{{\mathrm{\Psi }}_{12}}{{\mathrm{\Psi }}_{21}}=\frac{M_{12}{i}_2}{M_{21}{i}_1}=\frac{i_2}{i_1}$

1.5电路和磁路的欧姆定理

在中学的时候我们学习过欧姆定理，即一段导体的电阻为两端电压和电流之比，描述电阻材料本身也有公式，  $\sigma$  为电导率，它正好为电阻率  $\varrho$  的倒数，描述了对电流的导通能力。除了应用电阻，还可以使用电导  $G$  描述电压电流之间的关系：

(1.25)  $R=\frac{U}{I}=\frac{l}{\sigma A}=\frac{1}{G}$

(1.26)  $I=GU$

现在考察单位面积上的电流强度，即电流密度  $\overrightarrow{J}=\frac{I}{A}\overrightarrow{e}$  （ $\overrightarrow{e}$  为单位矢量），电流密度为矢量，方向指向电流方向。可以结合电压公式  $U=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{l}$  以及(1.25)改写(1.26)为：

(1.27)  $\overrightarrow{J}\cdot A=\frac{\sigma A}{l}\cdot \overrightarrow{E}l\Rightarrow \overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}$

上式描述了微观时欧姆定理，即导体外加恒定场强下对应的电流密度的变化。

在一个磁路中，磁通(magnetische Fluss)也是一种流量，不同材料对磁通的阻碍程度也各不相同，因而可以类比电路的欧姆定理引入磁阻  $R_m$  的概念(单位[A/Vs])，由磁动势类比于电动势，可以得到新的对应关系

$R_m=\frac{\mathrm{\Theta }}{\mathrm{\Phi }}=\frac{NI}{BA}=\frac{H{l}_m}{\mu HA}=\frac{l_m}{\mu A}$

$l_m$  为磁通量通过一段磁路的有效长度，  $A$  为对应的磁通面积。上式与电阻公式很像。让我们再对磁阻公式变形，可以继续得到

可见在单位上磁阻其实和电感系数是倒数。

继续类比电导的概念，可得磁导  $\Lambda$  (magnetische Leitwert,单位[H]或者[Ωs])

在电路中我们对(1.26)求微元，得到微观的欧姆定理，那么对应到磁路的微观欧姆定理是什么呢？

所以微观磁路欧姆定理就是式，磁场强度下就是恒强磁场的磁化所得磁通密度。

对磁阻的计算分析可以用来实现对整个电机绕组极，铁芯部分和中间气隙部分的磁通的微元分析，可以实现对整个磁路进行离散的有限元分析FEM(Finite-Elemente-Methode)。在磁路里也完全可以应用电路的基尔霍夫定理进行分析，十分直观方便。

1.6小结

到现在，一些电机所需的基本物理知识基本上都覆盖到了。

有读者建议我应该总结一个电磁对应关系的表格，这样便于记忆和理解，于是在此次修订中在小结里给出附表。

在下一篇中会更新直流电机的基本结构和模型构建相关内容。文章基本上是我自己总结和手打，预计总共涉及到直流电机，同步电机，异步电机，矢量控制，电力驱动等方面。文字瑕疵和概念错误会后期及时修正。因为目前只能接触到德语教材相关资源，所以难免在概念上会有一定纰漏，希望能有更多专业人士和爱好者与我多多交流，共同学习进步。